在探討三角函數的兩角和與差的公式時，我們通常從單位圓出發，通過向量的幾何意義進行推導。首先，我們利用單位圓上點的坐標定義來表達角度和余弦值之間的關系。對于任意角a和b，我們可以通過向量的旋轉來表示這兩個角的和與差。例如，對于兩角和的余弦公式，我們可以考慮單位圓上的點A(cos(a),sin(a))和B(cos(b),sin(b))，通過旋轉來找到角(a+b)對應的點C的坐標，進而推導出cos(a+b)的表達式。接下來，我們利用誘導公式來推導正弦公式。誘導公式是基于單位圓上的對稱性，通過平移和旋轉來實現的。具體來說，我們可以通過公式cos(π/2-a) = sin(a) 和 sin(π/2-a) = cos(a) 來進行變換。以sin(a+b)為例，我們可以通過將a+b轉換為π/2-a-b的形式，利用誘導公式將其轉化為cos[(π/2-a)-b]，進而通過余弦和差的公式展開，得到sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)。最后，我們利用同角三角函數的基本關系來推導正切公式。我們知道，正切函數可以表示為正弦與余弦的比值，即tan(x) = sin(x)/cos(x)。因此，對于sin(a+b)和cos(a+b)的表達式，我們可以通過除法操作直接得到tan(a+b)的表達式。具體來說，tan(a+b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)) / (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))，通過化簡可以進一步得到tan(a+b)的簡化形式。通過上述步驟，我們可以完整地推導出兩角和與差的正弦、余弦以及正切公式，這不僅加深了我們對三角函數性質的理解，也為解決實際問題提供了有力的工具。