在處理多元函數的偏導數時，我們常常使用鏈式法則。對于函數w=f(u,v)，其中u和v都是x,y,z的函數，我們有：?w/?x=(?f/?u)(?u/?x)+(?f/?v)(?v/?x)在這個例子中，u=x+y+z，v=xyz，因此：?u/?x=1，?v/?x=yz記f?=?f/?u，f?=?f/?v，則：?w/?x=f?+yzf?接下來我們計算二階偏導數?2w/?x?z，即?(?w/?x)/?z：?(?w/?x)/?z=?(f?+yzf?)/?z=f?+yzf?關于z的偏導數進一步展開：?f?/?z+?(yzf?)/?z繼續分解：?f?/?z+f??(yz)/?z+yz?f?/?z進一步簡化：?f?/?z+yf?+yz?f?/?z這個表達式展示了二階偏導數的計算過程，體現了鏈式法則在復雜函數中的應用。