為了證明當x趨近于0時，arctan x與x等價，我們采用極限的方法。設arctan x = u，由此得到x = tan u。根據x和u的轉換關系，當x趨向于0時，u也趨向于0。接下來，我們考慮求解以下極限表達式：lim (arctan x / x)。通過轉換，我們可以將其表示為lim (u / tan u)。進一步地，利用三角函數的性質，我們知道tan u可以表示為sin u / cos u，因此原式可以變換為lim (u / (sin u / cos u))，即lim (u * cos u / sin u)。進一步簡化，我們可以將其寫為lim (u / sin u * cos u)。我們知道當u趨向于0時，u / sin u的極限值為1，cos u的極限值為1。因此，整個表達式的極限值為1。這證明了當x趨近于0時，arctan x與x是等價無窮小，即arctan x ~ x。此結論在數學分析中非常有用，特別是在處理極限和微分等問題時，可以簡化計算過程。通過上述步驟，我們得出了arctan x與x等價的結論，這為后續的數學推導提供了基礎。