在銳角三角形AB中，已知sin(A+B)=3/5，sin(A-B)=1/5。通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們可以證明tanA=2tanB。首先，利用三角函數(shù)的和差公式，我們有sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=3/5，以及sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1/5。將這兩個(gè)等式相加并相減，我們可以得到sinAcosB=2/5，而cosAsinB=1/5。接下來(lái)，我們將這兩個(gè)結(jié)果相除，得到tanA/tanB=2，從而證明了tanA=2tanB。然后，我們?cè)O(shè)AB邊上的高為CH=x。由于三角形的高、底和斜邊之間的關(guān)系，我們可以得到AH=1，BH=2。進(jìn)一步利用勾股定理和三角函數(shù)關(guān)系，我們可以得到AC=√(1+x2)，BC=√(4+x2)，以及sinA=sin(B+C)=3/5。接下來(lái)，我們利用三角形的面積公式S=1/2*底*高，得到2S△=AC*BC*sinA = BC*x。將之前得到的AC、BC和sinA的表達(dá)式代入，我們可以得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程。解這個(gè)二次方程，我們可以得到x2 = 10±2√24。由于當(dāng)x=√6-2時(shí)，C為鈍角，所以我們需要舍去這個(gè)解。因此，我們得到AH = x = √6+2。