在探討\( \frac{a^n}{n!} \)與\( \frac{n^k}{a^n} \)的極限時，我們首先關注\( \frac{a^n}{n!} \)的情況。當\( a > 1 \)時，分子和分母在\( n \)趨向正無窮時均為無窮大。此時，我們可以應用洛必達法則，對分子和分母分別求導，然后相除。通過多次求導，可以觀察到一個模式，最終可得出結果為\( \frac{k!}{(\ln a)^n \cdot a^n} \)。進一步簡化，我們知道\( a^n \)的增長速度遠超\( n! \)，因此最終極限趨向于0。而在\( a \leq 1 \)的情況下，情況變得復雜。此時，分子\( a^n \)的增長速度并不足以超越分母\( n! \)的增長速度，因此該極限不存在。接著我們探討\( \frac{n^k}{a^n} \)的極限情況。同樣地，當\( a > 1 \)時，分母\( a^n \)的增長速度遠大于分子\( n^k \)，因此隨著\( n \)趨向正無窮，極限趨向于0。相反地，若\( a \leq 1 \)，則分母的增長速度相對較慢，此時極限的值取決于\( k \)的具體情況，但在大多數情況下，當\( n \)足夠大時，極限也會趨向于0。總的來說，這兩類極限問題在\( a > 1 \)時均趨向于0，而在\( a \leq 1 \)時情況各異，需具體分析。洛必達法則在這類問題中提供了有效的求解路徑。詳情