設隨機變量X的概率密度函數為fX(x)，則Y=X2的概率密度函數可以表示為fY(y)。通過y=x2，可以得出x=±√y。根據概率密度函數的定義，我們有FY(y)=P(Y<√y)=FX(√y)-FX(-√y)。對y求導得到fY(y)=1/(2√y) * [fX(√y)+fX(-√y)]。

當X～N(0,1)時，即X服從標準正態分布，其概率密度函數為fX(x)=1/√(2π) * e-x2/2。將這個分布代入上述公式，我們得到fY(y)=1/(2√y) * [1/√(2π) * e-y/2 + 1/√(2π) * e-y/2]。簡化后，fY(y)=1/(√(2πy)) * e-y/2。這表明Y的概率密度函數為一個指數分布，具體形式為fY(y)=1/(√(2πy)) * e-y/2，y>0。

這個結論對于理解隨機變量變換后的分布特性非常有用。特別是在處理一些物理和工程問題時，經常需要將一個隨機變量變換為另一個隨機變量。在這個例子中，我們從一個正態分布變換到了一個指數分布，這種變換在統計學和概率論中具有重要意義。值得注意的是，這種變換不僅適用于標準正態分布，也適用于其他類型的概率分布，只要它們的概率密度函數形式允許。

此外，這種概率密度函數的變換方法在許多實際應用中非常普遍，比如在信號處理、圖像處理以及金融建模等領域。通過對隨機變量進行適當的變換，我們可以更好地理解和預測系統的動態行為。