數學分析是研究實數和復數及其函數的數學分支，其發展源于微積分，涵蓋函數的連續性、可微性及可積性等特性。這些特性在物理世界的研究中至關重要，幫助我們揭示自然界規律。數學分析的起源可以追溯到17世紀，隨著牛頓和萊布尼茲對微積分的發明，該領域開始蓬勃發展。在17、18世紀，數學家們專注于變分、常微分方程、偏微分方程、傅立葉分析及母函數的研究。微積分方法通過連續方法近似離散問題，取得了顯著成果。進入18世紀，函數概念的定義成為數學界爭論的焦點。19世紀初，柯西通過引入柯西序列的概念，為微積分提供了堅實的邏輯基礎，并開創了復分析的形式理論。同時，泊松、劉維爾、傅里葉等數學家致力于偏微分方程和調和分析的研究。19世紀中期，黎曼引入了黎曼積分理論，為數學分析帶來了新的視角。隨后，魏爾施特拉斯提出了分析的算術化，強調幾何論證的誤導，并引入了極限的(ε, δ)定義。數學家們開始質疑實數連續統的存在假設，戴德金通過戴德金分割構造了實數。這一時期，黎曼積分理論的精煉嘗試引發了對實數函數非連續集合“大小”的探討。在此背景下，若爾當發展了測度理論，康托爾構建了現代樸素集合論，貝爾證明了貝爾綱定理。20世紀早期，微積分被形式化為公理化集合論。勒貝格解決了測度問題，希爾伯特引入了希爾伯特空間以解決積分方程。賦范向量空間的概念逐漸流行，1920年代，巴拿赫創立了泛函分析。當前，數學分析主要分為幾個分支領域：實分析專注于實值函數的微分和積分研究，包括極限、冪級數和測度的探討。泛函分析研究函數空間，引入巴拿赫空間和希爾伯特空間的概念。調和分析涉及傅里葉級數及其抽象。復分析則研究從復平面到復平面的復數可微函數。