用數(shù)列極限的定義來證明問題，是一種嚴謹?shù)臄?shù)學方法。這種證明方式的關鍵在于，對于任意給定的正數(shù)ε，我們能夠找到一個正整數(shù)N，使得當n大于N時，數(shù)列中的項與極限值之間的差的絕對值小于ε。具體步驟如下：首先，明確數(shù)列的定義和目標極限值。假設我們要證明數(shù)列an的極限是L，即lim(n→∞)an = L。根據(jù)定義，對于任意給定的ε > 0，我們需要找到一個正整數(shù)N，使得對于所有的n > N，都有|an - L| < ε。接著，依據(jù)數(shù)列的特性，找到N的具體形式。這通常需要對數(shù)列進行仔細分析，有時可能需要用到不等式技巧。找到N后，驗證對于所有的n > N，|an - L|確實小于ε。以兩個具體的例子來說明。假設我們有兩個數(shù)列：an = 1/n和bn = 1 - 1/n2。我們分別用數(shù)列極限的定義來證明lim(n→∞)an = 0和lim(n→∞)bn = 1。對于an = 1/n，要證明lim(n→∞)an = 0，即對于任意給定的ε > 0，找到一個N，使得n > N時，|1/n - 0| < ε。解不等式1/nε，得到N > 1/ε。因此，取N = [1/ε] + 1即可。對于bn = 1 - 1/n2，要證明lim(n→∞)bn = 1，即對于任意給定的ε > 0，找到一個N，使得n > N時，|1 - 1/n2 - 1| < ε。簡化后得到|1/n2| < ε，解不等式1/n2ε，得到N > 1/√ε。因此，取N = [1/√ε] + 1即可。通過這種方法，我們不僅證明了數(shù)列的極限存在，還精確地確定了數(shù)列收斂的條件。這種證明方式對于理解數(shù)列的性質(zhì)和極限的概念至關重要。