在求解數(shù)學(xué)表達(dá)式 \( (X^2 + X - 1)^9 \cdot (2X + 1)^4 \) 的展開式中所有奇次項的系數(shù)和時，我們采用了代數(shù)方法。首先，我們令 \( x = 1 \)，代入表達(dá)式得到 \( (1 + 1 - 1)^9 \cdot (2 + 1)^4 = 81 \)。這個結(jié)果是所有項（包括奇次項和偶次項）的系數(shù)和。接著，我們令 \( x = -1 \)，代入表達(dá)式得到 \( (1 - 1 - 1)^9 \cdot (-2 + 1)^4 = -1 \)。由于所有項的系數(shù)和是已知的（即81），通過這個結(jié)果我們可以得出所有偶次項的系數(shù)和是 \( 81 - 1 = 80 \)。最后，利用奇次項和偶次項系數(shù)和的關(guān)系，即所有奇次項的系數(shù)和等于總系數(shù)和（81）減去所有偶次項的系數(shù)和（80），我們得出所有奇次項的系數(shù)和為 \( 41 \)。因此，該數(shù)學(xué)表達(dá)式的展開式中所有奇次項的系數(shù)和是 \( 41 \)。