設(shè)方程組為Ax=b,A為m*n矩陣,且 r(A)=m。則 A 的列向量是m維向量,且列向量組的秩為m。故 r(A,b)=m -- m維向量組的極大無關(guān)組的個數(shù)不超過m。所以方程組有解。

設(shè)A是n階矩陣, 若r（A） = n, 則稱A為滿秩矩陣。但滿秩不局限于n階矩陣。滿秩矩陣秩等于行數(shù)，稱為行滿秩；若矩陣秩等于列數(shù)，稱為列滿秩。既是行滿秩又是列滿秩則為n階矩陣即n階方陣。行滿秩矩陣就是行向量線性無關(guān)，列滿秩矩陣就是列向量線性無關(guān)；所以如果是方陣,行滿秩矩陣與列滿秩矩陣是等價的。用初等行變換將矩陣A化為階梯形矩陣, 則矩陣中非零行的個數(shù)就定義為這個矩陣的秩, 記為r（A），根據(jù)這個定義, 矩陣的秩可以通過初等行變換求得。

需要注意的是, 矩陣的階梯形并不是唯一的, 但是階梯形中非零行的個數(shù)總是一致的。單位陣是單位矩陣的簡稱，它指的是對角線上都是1，其余元素皆為0的矩陣。在矩陣的乘法中,有一種矩陣起著特殊的作用，如同數(shù)的乘法中的1，我們稱這種矩陣為單位矩陣，簡稱單位陣。它是個方陣，除左上角到右下角的對角線(稱為主對角線)上的元素均為1以外全都為0。可用將系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化成單位矩陣的方法解線性方程組。