祖沖之是我國家喻戶曉的科學家，在世界科學史上也占有重要的地位。為紀念祖沖之，月球背面的一座環形山被命名為“祖沖之環形山”，1964年11月9日，紫金山天文臺將1964年發現的國際永久編號為1888的小行星命名為“祖沖之星”。還有一些道路和公園等也冠以祖沖之的名字。我們河北淶水更是有祖沖之中學，培養大量優秀的人材。這些體現了我們對祖沖之的紀念，也激勵著后人奮發向上。祖沖之的事跡，在中學教材就有介紹，但他的思想寶庫還有待進一步的挖掘。下面我分幾個方面對他的科學成就和科學思想做一簡單的介紹，希望起到拋磚引玉的作用。（一） 祖沖之的生平（二） 祖沖之的數學成就（三） 祖沖之的天文學成就（四） 祖沖之的機械發明成就（五） 祖沖之的科學精神 （一）、祖沖之的生平 在中國古代，科學家并不太受重視。祖沖之是少有的、以科學貢獻在正史中有傳記的科學家，在《南史》和《南齊書》的文學傳中都有他的傳記，雖然只有幾頁，但已經很可觀了。祖沖之，字文遠，祖籍范陽遒（今河北淶水）人。曾祖父祖臺之，字元辰，在晉代做過尚書左丞、侍中、光祿大夫。祖父祖昌，做過劉宋朝的大匠卿。父親祖朔之，做過劉宋的奉朝請。當時南北朝對歭，劉宋朝定都建康（南京），祖沖之大概就生長在這里。祖沖之最初在南徐州（今江蘇鎮江市）進入仕途，做從事史、公府參軍一類下級官員。劉宋孝武帝劉駿在位的時候（公元454-464年）他曾在華林學省任職，并被賜與房子、車和衣服。大明六年（462年），他曾將自己的《大明歷》上于朝廷，引了一場大辯論。之后他離京到婁縣任縣令（今江蘇昆山縣東北），后來又回京升任謁者仆謁。劉宋升明年間（公元477-479年），他造過指南車。北齊武帝永明年間（483-493），他造過欹器。他還做過北齊的長水校尉，為四品官，在士途上達到頂峰。在此期間，他曾著有《安邊論》，在建武年間（494-498）明帝曾擬讓沖之巡行四方，干一番大事業。可是由于接連有軍事，未能實現。北齊永元二年（500年），他帶著遺憾離開了人世，享年72（虛）歲。祖沖之的兒子祖暅之，又作祖暅，官至太舟卿。祖暅以注意力專注聞名。他繼承和發揚家庭學術傳統，對數學、天文和機械發明都有貢獻。父親的歷法靠他的努力才得以頒行。祖沖之生長于官宦世家，從小受到良好的教育，尤其在青年時代曾認真學習和研究過數學與天文歷法，并形成了講求理據、不迷信古人的批判精神。他博學多才，涉獵極廣，除數學、天文、機械外，對音律、歷史、儒道、文學乃至博戲都很擅長，是不可多得的全才。祖沖之勤于著述，在數學上曾注釋過數學名著《九章算術》、《重差》，自撰《綴術》（或名《綴述》）；在天文學方面著有《大明歷法》；他研究三玄和儒家經典，為《易經》、《老子》、《莊義》、《論語》、《孝經》寫過注釋。他關心國家和社會，著有《安邊論》。此外，他還著有《述異記》十卷。《隋書·經籍志》稱“梁有《長水校尉祖沖之集》五十一卷”，估計他的著作在他死后曾經結集傳世。可見他確實是一個學問博大精深的學者。 （二）、祖沖之的數學成就 祖沖之年輕時代對數學興趣極大，用力極深。他熟悉前輩數學家的工作，并能在繼承的基礎上進行批判、修正和發展。他對《九章算術》及其研究者張衡、鄭玄、闞澤、王蕃、劉徽等人的工作，都進行了深入的研究。同時，他精研天文歷法，也促進了他的數學工作。他研究并為《九章算術》寫過注釋，并進而寫了幾十篇數學論文，匯集為《綴術》（或《綴述》）。此書曾為隋唐國子監的算學館的教材，同時也是國家科舉考試“明算”科用的考試用書。《綴術》早在11世紀中已失傳，但唐代算學館的學制中，《綴術》要學四年，是諸算經中學習年限最長的，可見包含了當時最高深的數學知識。祖沖之的著作還曾在唐代已傳到日本和朝鮮，可見其影響之廣遠。由于祖沖之的數學著作都已失傳，我們無法詳知他的數學創造。但現在殘存的片斷資料，足以說明他的天才能力。下面我們分3個方面做一簡單的介紹。1圓周率圓周率是不同文明中普遍關注的一個數據，它的精度能在一定程度上反映了一個文明中數學計算方法的發達程度。中國古代數學經典《九章算術》以周三徑一為率，相當于π=3。后來不斷有人改進這個數據。比如劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗等。而最受關注的是祖沖之推算的圓周率值。他計算了一個直徑為一丈的圓，他求得圓周長的過剩近似值“三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽”，不足近似值“三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”，除以1丈，則按現代的表示，祖沖之計算的圓周率π滿足：3.1415926<π<3.1415927。這一數值精確到小數點后七位，在世界上遙遙領先。一直九百多年后，公元15世紀數學家、天文學家阿拉伯的阿爾·卡西（al-Kashi，c.1380-1429，出生于今伊朗）于1424年完成的《圓周論》（Treatise on the Circumference）計算出準確到小數點后16位的圓周率，才超越他。古代習慣用分數計算，祖沖之得到圓周率的兩個分數近似值，密率：355/113，約率22/7。前者約等于3.1415929，精確到小數點后6位。據梁宗巨先生推算，它是分母小于16604而最接近真實值圓周率的近似分數值。在祖沖之以前，公元3世紀的劉徽創立割圓術，證明圓面積等于半徑與半周長的乘積，同時亦開創了計算圓周率的科學方法。祖沖之注《九章》，也提到他的不足，很可能他是在劉徽方法的基礎上進行改進得到他的圓周率的。祖沖之用他的圓周率校算過《周禮》栗氏量和王莽銅斛，并指出設計王莽銅斛的劉歆由于“數術不精”導致他的計算有差錯。2對球體積公式的研究 球，古代又叫立圓、丸。《九章算術》的少廣章提到一個已知球體積求其直徑的方法：“開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即丸徑。”設V、d分別為球的體積和直徑，上述方法相當于公式d= 。反過來，如果要由球直徑求體積，那么上述方法相當于以下的公式V= 。古人以π=3，因此這實質上是V= d3。如果按已知半徑計算，則V= r3，當時圓周率取π=3，實質相當于V= 。古代很早就發現這個方法有問題。張衡曾研究過正方體與內切球、外接球，球與其內接、外切正方體的關系，但沒能解決這個問題。第一個邁出重大一步的是劉徽，他創造性地設計了一個立體。首先在正方體內以豎直的內切圓柱切之，然后用橫的內切圓柱切之，得到一個由上下兩部分都像傘形的立體組成的復合立體，他稱之為牟合方蓋（牟：傘）。正方體的內切球也是牟合方蓋的內切球。劉徽用平行于正方體上下底的平面截它們，發現每次從牟合方蓋上截出一個正方形，在球上截出一個與該正方形相切的圓。顯然，它們的面積之比為4：π。劉徽默認立體由一系列面積所合成，因而斷言牟合方蓋與內切球的體積之比亦為4：π。牟合方蓋比外切圓柱小，因此劉徽推知由古代球體積公式算出的結果太大了。既然牟合方蓋與球的體積之比為固定的4：π，那么球體積計算公式的求法，就轉化為牟合方蓋體積公式的求法。劉徽并不直接求牟合方蓋的體積，而是考慮先求正方體與牟合方蓋之間的部分。他發現要求出這部分也很困難，坦率地承認自己沒有辦法解決它，而把問題留給后世能人。這后世能人，就是祖沖之、祖暅之父子。現存《九章算術》的李淳風注釋，引述了祖暅之開立圓術，終于解決了這個問題。祖沖之在《大明歷議》中說“至若立圓舊誤，張衡述而弗改”，他又注了《九章》。祖暅之的著作名稱也叫《綴術》（或《綴述》）。因此，有理由認為李淳風所引祖暅之對球體積公式的求法，是父子兩代人共同努力的結果。他們繼承了劉徽用八個一寸見方的正方體合成一個二寸見方的立方體，再做其內切球與牟合方蓋，然后求立方體與牟合方蓋之間部分體積的思路。其具體解決思路如下：仍用模型棋來說明。考慮二寸見方立體（8枚立方棋）與牟合方蓋之間的部分在其中任一一個一寸見方立方體（1枚立方棋）之間的部分，如果這一部分解決了，就只要乘以8即得到整個的體積。（上圖采自郭書春《古代世界數學泰斗劉徽》）圖中（2）為牟合方蓋在一枚棋中的部分（內棋），它與正方體之間的部分可以分為（3）、（4）、（5）三塊（外三棋）。用平行的底的平面截它們，設其高度為ON=a，這三塊截得的是兩個矩形和一個正方形，它們正好構成一個曲尺形。其面積為正方形NKJI與內棋截面之差，等于NK2-NM 2，M為圓柱面上的點，半徑OM也就等于OG，也就等于正方形NKJI的邊長NK，所以曲尺形面積等于OM2-NM2。截面平行于底ABCD而垂直于高ON（OA），所以ONM為直角三角形。由勾股定理可知，曲尺形面積為OM2-NM2=ON2=a2，這正是一個以立方棋的上底（ABCD）為底面、高為正方棋的一邊（CF）的四棱錐（6）的截面。祖暅說：“緣冪勢既同，則積不容異”。這就是說，如果兩立體由一系列平行平面所截，而每次截得的面積具有同樣的關系，則它們的體積也具有同樣的關系。在本問題上，這種關系是相等關系，這就是中學所學的祖暅公理的由來。據此，祖暅之就把外三棋轉化為一個錐體（6）。它的體積為正方體體積的3分之1。于是他算出內棋體積為正方體余下部分的3分之2。于是可以算出整個牟合方蓋的體積為整個（2寸）立方體體積的2/3，牟合方蓋的體積既已求出，利用它與球體積的比例關系4：π就可以算出球體積。 這樣的奇思妙想，估計在《綴術》中還有，可惜我們再也看不到了。 3帶負數的開帶從（縱）方法 中國古代，開方是一個重要的數學門類，除了我們現在的開平方、開立方，開多次方外，還包括與求解一個一元多次方程（xn+a1xn-1+……+an-1x=N）相當的方法。如果這些ai中至少有一個不是零，則稱為開帶從（縱）方。《隋書·律歷志》記載祖沖之“又設開差冪，開差立，兼以正（圓）[負]參之”。錢寶琮先生認為“開差冪”是“已知長方形的面積和長、闊差，用開平方法求闊或長”，“開差立”則是“已知長方體的體積和長、闊、高的差，用開立方法求它的一邊”開差冪和開差立說明祖沖之能開帶從平方和帶從立方。現在所知，開帶從立方以祖沖之為最早。不僅如此，他還將正負數引入開帶從方的方法中。這確實是了不起的成就。 祖沖之的《綴術》已失傳，但可以推知它是超越時代的。《隋書·律歷志》說祖沖之“所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。”可見，雖然《綴術》列于算館教材和科舉考試用書，但太高深，以致當時的教授也不能懂得它的深奧之處，可能并沒有被扎扎實實的教授過。這大概也是它失傳的原因之一。 （三）、祖沖之的天文學成就 祖沖之對天文學的貢獻主要在歷法方面。他制訂了一部歷法《大明歷法》，其中有超越前人的巨大創造。大明六年（公元462年），年方33歲的祖沖之把他編制的歷法上給朝庭。在上表中他說“臣博訪前墳，遠稽昔典，五帝躔次，三王交分，《春秋》朔氣，《紀年》薄食，（司馬）談、（司馬）遷載述，（班）彪、（班）固列志，魏世注歷，晉代《起居》，探異今古，觀要華戎。書契以降，二千余年，日月離會之征，星度疏密之驗。專功耽思，咸可得而言也。加以親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心窮籌策，考課推移，又曲備其詳矣”。在對前代和不同地域的各種歷法和天象觀測記錄進行研究的基礎上，在自己認真觀測的基礎上，祖沖之利用了他深厚的數學基礎，以嚴謹求實的態度寫成了這部《大明歷法》。此前，劉宋朝用著何承天（公元370-447）的《元嘉歷》（公元443年上，公元445年頒行）。祖沖之進行測驗和分析，發現《元嘉歷》“日月所在，差覺三度，二至晷影，幾失一日，五星見伏，至差四旬，留逆進退，或移兩宿。分至失實，則節閏非正，宿度違天，則伺察無準”。不能準確預報天象在古代會產生的嚴重后果，因而改歷勢所必然。為此，他在新歷法中進行了創新和改革。他把自己的創改之處總結為“改易之處有二，設法之情有三”。改易之處的第一點是改章法，改變設置閏月的周期。舊的章法是19年設7個閏月，祖沖之認為按這個置閏周期，閏數偏多，經過250年（原文“二百年”，依陳美東意見改為“二百五十年”）會相差一天。祖沖之提出了391年置144個閏月的章法。這是歷代最佳的閏周值。他改易之處的第二點是將歲差引入歷法。歲差是地球自轉軸在空間不斷發生微小變化的現象。在中國歷史上，晉代天文學家虞喜獨立于希臘天文學家發現了這種現象（約公元330年）：冬至點每50年西移1度。這樣就把從冬至點到冬至點的回歸年，和從某特定的恒星回到該恒星位置的恒星年區別開來，為歷法推算精度的提高開辟了道路。可是，歲差并沒有很快進入歷法計算中。祖沖之提出了45年11個月差1度的歲差值，這一值雖然由于各種原因并不精確，但他敏銳的注意到歲差引入歷法的重要性：舊的歷法總是認為冬至點位置固定，不考慮歲差的存在，使得所定日月五星的位置與實際位置差別越來越大。而按他的作法，把歲差引入歷法計算，令冬至點每年有個微小的調整，以此與漢代注疏中的記錄相核對，都符合得很好。這樣，新歷法將來可以長久行用，不需要屢屢修改。他想到的是個一勞永逸的方法。當然，由于他的數據不太準確，歷法也總是要與實際觀測相校驗，完全一勞永逸是不現實的。但他把歲差引入歷法計算，確是一個了不起的進步。祖沖之的三項“設法之情”是關于歷元設定的：一日以子時開頭，歷元冬至點始于虛宿1度；歷元日名為甲子，歲名亦始于甲子。他認為歷元起于甲子歲十一月甲子日夜半，可以使日月合璧、五星連珠。這一作法要用一元的上元法取代劉歆、楊偉、趙[匪攵]、姜岌、何承天的多歷元法，有很大的主觀因素，在歷法計算上有一個整齊劃一的起算點，便于計算的程序化。這種處理方式，雖然會犧牲若干觀測數據的精度，并不得不采用十分龐大的上元積年數，導致計算復雜，但對這種理想化天象的追求，卻推動了中國古代數學對一次同余問題的研究，后來的大衍總數術就與此密切相關。除了上述的“改易之處有二，設法之情有三”外，祖沖之的《大明歷法》還有以下幾個重要的貢獻。一是發明了一種嶄新的冬至時刻計算法，為測算精度的大幅度提高鋪平了道路。二是他對回歸年長度的計算，盡管對實測結果有所微調，但從方法到結果都十分成功，其回歸年長度365又39491分之9589日（=365.2428148日）是中國歷代最佳值之一，在當時世界上也是遙遙領先的。祖沖之還明確給出了交點月長度值27.21223日，與理論值只1.3秒之差，其五星會合周期，也都比前代精度大為提高。盡管大明歷是一部相當優秀、多有創新的歷法，但其命運多舛，過了48年，才在兩個朝代之后的梁天監9年（公元510年）改稱甲子元歷頒行。祖沖之的歷法工作，集中表現了他的科學精神。這一點我們將在后面涉及。 （四）、祖沖之的機械發明成就 祖沖之的祖父祖昌，做過劉宋朝的大匠卿（是掌管土木工程的大官）。祖沖之心靈手巧，在機械制造上多有發明，與家庭傳統不無關系。祖沖之在這方面的發明創造，實物沒有能保存下來，關于具體細節的文獻也沒有流傳至今，所以我們無法知道他在技術上到底有何具體貢獻。但據文獻記載，他確發明和制造了一些精巧的器物。 1奇巧之物：指南車和欹器指南車是一種奇巧之車。它在行進過程中，車子轉向而上面一個指向器能保持方向不變。劉宋武帝在公元417年（當時尚未登帝位）平定關中的時候，得到姚興的指南車，它只有外形，沒有操縱機關。每次使用的時候，都讓人在車內轉動使之指南。后來，祖沖之制造了一個銅機安上，車子四方走動，都能自動調整指南。成為三國魏時名匠馬鈞以來未有的精巧之器。祖沖之為姚興的車所制造的銅機，真是有畫龍點睛之妙。當時，北方有一個叫索馭驎的人，也聲稱能造指南車，皇帝令他們各自造了一個，在樂游苑比試，結果索馭驎造的指南車因為質量不行，被毀掉燒了。欹器是古代一種傾斜易覆的盛水器。水少則傾斜，水不多不少則正，水滿則翻倒。古代君主以之置于座右，以為戒。在晉代，杜預有精巧之思，想造一個欹器，可是做了三年都沒有成功。南齊永明年間（公元483-493年），竟陵王子良好古，祖沖之成功制造了一個欹器獻給他。 2運輸工具：木牛流馬和千里船史載諸葛亮設計了木牛流馬，具體是什么樣子的，我們并不清楚。技術家史或以為是木牛和流馬兩種運輸工具。都是獨輪車，有四足。但前者外形似牛，后者似馬。祖沖之制造了木牛流馬，只是一種工具。它不利用風力和水力，既省力又方便。祖沖之又制造了一種日行百余里的千里船（“千里”并非1000里，只是夸張，表示快而已）。技術史家推測祖沖之的千里船可能由槳輪驅動。后來祖沖之兒子祖暅之做掌管船舶制造和運輸的太舟卿，或者與父親的這項發明有些關系。 3農具：水碓磨 水碓和水磨是兩種農具，都用水力驅動。前者砸，用來舂米，后者磨，用來磨碎糧食。祖沖之在樂游苑制成水碓磨，可能是把水碓和水磨兩件東西集中在一起的組合式水力工具。齊武帝曾親自觀摩過它。 （五）、祖沖之的科學精神 我們知道，做科學最忌人云亦云、不尊重事實、強辭奪理，科學工作者最怕強權干預。祖沖之的科學精神體現在不畏強權、追求真理，嚴謹求實、以理服人等方面。祖沖之上大明歷的時候，起初由于懂的人少，沒有人反對或贊同。這時寵臣戴法興跳出來攻擊，于是一批趨炎附勢的人跳出來都附和他。當時祖沖之只有33歲，步入士途不久，官階很低。這時戴法興為太子旅賁中郎將，為五品官員。級別并不是很高，但比祖沖之還是高得多。要緊的是，戴法興是孝武帝在繼位前的近臣，孝武繼位后已受封為吳昌縣男，有爵位，又是太子身邊的人。當時孝武皇帝寵幸他，以致官員的升遷賞罰，孝武聽他的意見。所以戴氏多納貨賄，門外成市。面對權臣的威勢，和朝臣一邊倒的局面，祖沖之不僅沒有認錯，而且沒有采取聽之任之的態度，而是無所畏懼，據理力爭。戴氏不同意歲差之說，認為冬至點位置萬世不易，還給祖沖之扣上“誣天背經”的帽子；他認為祖沖之的新閏周是“削閏壞章”，氣勢凌人地說章法之事“恐非沖之淺慮妄可穿鑿”。祖沖之面對攻擊，既沒有采取消極態度服輸認錯，又沒有用很情緒化的方式反攻，而是針對戴法興的問題和論據，引經據典，證明戴氏所持古六歷神圣不可改易的觀點是錯誤的，他以觀測數據為依據證明歲差的存在。他以嚴謹求實的態度證明自己的意見并非淺慮、穿鑿的“誣天背經”之說，而是“循經之論”。并進而對戴氏盛氣凌人的指責，鏗鏘有力地表明了自己的態度“浮辭虛貶，竊非所懼”。祖沖之在駁議中說“臣考影彌年，窮察纖微，課驗以前，合若符契”，以觀察、考驗為核心，正是科學精神的體現。 大概正是由于祖沖之不畏強權的氣度，嚴謹求實的精神，和有理有據的駁議，贏得了一位級別不高的官員巢尚之的支持。巢氏雖然只是七品官員，但他作為中書舍人，為皇帝收納、轉呈文書奏章，屬于皇帝近臣，位置很重要。由于巢氏為祖沖之據理力爭，“上愛奇慕古”，皇帝擬采用大明歷。可是祖沖之運氣不佳，皇帝馬上死了，大明歷法頒行的事就耽擱了。后來到南齊又有一個太子支持的機會，也因太子去世而錯過了。所以到祖沖之去世后10年，才在兒子的修改和努力爭取下，以甲子元歷之名頒行。祖沖之不畏權貴，敢于堅持真理的科學精神，并非由于一味的膽大和倔強，而是有自身的優勢。祖沖之從小受到良好的教育，知識廣博，不僅數學能力強，善推理、演算，而且還接觸實際、心靈手巧，并親自做過天文觀測。這就使他對相關問題能把握準確，因而在與權貴辯論時能底氣十足，充滿信心。這是雖然讀書萬卷、但知識面偏窄的戴法興所不能比擬的。可見，科學精神與科學知識，就是這樣相輔相成，互相促進的。這也是祖沖之給我們的啟示。祖沖之也不是十全十美。他對我們研究祖沖之，也不要隱諱他的不足。例如，祖沖之對于上元法過份強調，對多元法過份排斥，在體例整齊劃一的同時，也增加了計算的復雜程度，這是優劣兩存的。另外，戴法興也不是一般人所理解的不學無術之徒，他出身窮苦人家，卻從小刻苦學習，讀書很多，只是他的學問比較偏窄，對數學天文并不擅長。由于出身低而深受皇帝寵愛，朝野奉承，就有些忘乎所以，自以為什么都能了。我們對待歷史人物包括祖沖之，和他的反面戴法興，我們都應該客觀公正，實事求是，這也是我們學習祖沖之的科學精神應有的態度。主要參考文獻1[唐]李延壽撰：《南史》，中華書局，1987年。2[梁]蕭子顯：《南齊書》，中華書局，1974年。3[梁]沈約撰：《宋書》，中華書局，1991年。4錢寶琮主編：《中國數學史》，科學出版社，1964年。5嚴敦杰著：《祖沖之科學著作校釋》，遼寧教育出版社，2000年。6杜石然：“祖沖之傳”，《中國傳統科技文化探勝——紀念科技史學家嚴敦杰先生》，科學出版社，1992年。7陳美東著：《中國科學技術史·天文學卷》，科學出版社，2003年。8郭書春著：《古代世界數學泰斗劉徽》，山東科學技術出版社，1992年。9郭書春主編：《中國科學技術史·數學卷》，科學出版社，2010年。10李儼：《中國數學大綱》（修訂本），科學出版社，1958年。11陸敬儼、華覺明主編：《中國科學技術史·機械卷》，科學出版社，2000年。12 “al-kashi”, Encyclopedia Britannica 2009 Student and Home Edition光盤版。13梁宗巨：《數學歷史典故》，遼寧教育出版社，1992年。14“祖沖之星”。