過(guò)渡矩陣為何一定可逆？深入解析這一問(wèn)題，我們首先回顧相關(guān)概念與定理。過(guò)渡矩陣，即基礎(chǔ)變換矩陣，通常用于表示不同基之間的線性轉(zhuǎn)換。若要解答這一疑問(wèn)，我們需要從矩陣的性質(zhì)出發(fā)，特別是可逆矩陣的定義。可逆矩陣的定義為，存在另一矩陣，其與原矩陣相乘后結(jié)果為單位矩陣。這一性質(zhì)表明矩陣在操作后可完全復(fù)原，不失為線性變換中的重要屬性。在具體分析過(guò)渡矩陣為何可逆時(shí)，我們轉(zhuǎn)向教材《線性空間與矩陣論》（林錳，哈爾濱工程大學(xué)出版社，P9）中提供的證明。證明的核心在于指出，若矩陣P的某個(gè)線性組合等于零矩陣，那么這一組合只能是零解。換句話說(shuō)，P的所有列向量彼此之間皆為線性無(wú)關(guān)。這一結(jié)論的推導(dǎo)依賴于線性代數(shù)中的滿秩概念。矩陣P若滿秩，則意味著它的列向量組構(gòu)成的集合在向量空間中形成一組基，即它們相互獨(dú)立且能覆蓋整個(gè)空間。正是基于這一特性，我們可以斷定P的行向量也構(gòu)成基，從而推知P是滿秩矩陣。滿秩矩陣的性質(zhì)保證了其存在逆矩陣。這意味著，P的逆矩陣能夠與P相乘得到單位矩陣，即P具有可逆性。這一過(guò)程直觀地展示了過(guò)渡矩陣可逆的原理。總結(jié)而言，過(guò)渡矩陣之所以可逆，其根源在于矩陣內(nèi)部列向量的線性獨(dú)立性以及滿秩特性。這些性質(zhì)確保了矩陣在進(jìn)行線性變換后，可通過(guò)其逆矩陣實(shí)現(xiàn)完全復(fù)原，符合可逆矩陣的定義。由此，過(guò)渡矩陣的可逆性得到了清晰且堅(jiān)實(shí)的理論支撐。