在處理求解1/(1+x^2)的積分問題時，一種常用的技巧是通過換元法和三角代換來求解。這種方法將原積分轉(zhuǎn)化為更為熟悉的函數(shù)形式，便于計算。具體過程如下：

首先，我們設(shè)x=tan(θ)，這樣dx=sec^2(θ)dθ。原積分可以轉(zhuǎn)化為∫(1/(1+tan^2(θ)))*sec^2(θ)dθ，即∫cos^2(θ)dθ。利用三角恒等式，cos^2(θ)可以寫作(1+cos(2θ))/2，進(jìn)而得到積分∫(1/2)*(1+cos(2θ))dθ。

利用這些“矩形面積和”的概念，當(dāng)n趨于無限大時，每個小矩形的面積趨于零，但它們的總和卻趨向于原積分的值。這個原理在積分理論中被廣泛應(yīng)用，使得我們能夠在沒有牛頓-萊布尼茲公式的情況下解決某些函數(shù)的積分問題。

定積分的基本理論包括幾個重要定理：

定理1指出，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的，那么f(x)在這個區(qū)間上是可積的，意味著積分存在。

定理2進(jìn)一步說明，即使f(x)在[a,b]上是有限的，并且僅有有限個間斷點，它依然可積，因為間斷點不影響積分的整體結(jié)果。

定理3強(qiáng)調(diào)，如果f(x)在[a,b]上是單調(diào)的，那么積分過程就更為直接，因為單調(diào)函數(shù)的積分計算相對簡單。