當討論x趨向于無窮大時，x乘以sin(1/x)的極限值為1，這是一個經過解析過程得出的結論。以下是詳細的步驟：

首先，我們有lim(x→∞)xsin(1/x)，這個表達式可以轉換為lim(x→∞)sin(1/x)/(1/x)。為了處理無窮乘以0的型態，我們利用洛必達法則，將x替換為1/t（t趨向于0），得到lim(t→0)sint/t。這個形式已經是0比0型，應用洛必達法則，我們發現極限值為1。

極限在微積分中是基礎概念，它描述了變量在連續變化中趨于穩定趨勢的值。極限具有獨特性質：一旦數列有極限，這個極限值是唯一的，且所有子列的極限與其相同；有界性意味著收斂的數列必定有一個界限。然而，僅有界限并不保證收斂，比如數列“1，-1，1，-1，…”，它有界但不收斂。

因此，當我們討論x趨向于無窮大時，xsin(1/x)的極限確實是1，這是通過轉化并應用洛必達法則得出的結果，它與極限的性質和定義密切相關。