結論是，兩個對稱矩陣的乘積并不總是對稱矩陣，其對稱性依賴于特定的條件。首先，一個矩陣與其轉置的和(X+XT)總是對稱的。其次，如果A是方形矩陣且是對稱的，那么它必須滿足特征空間的特定要求，即兩矩陣乘法的交換性。在實數域中，實對稱矩陣可以表示為一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和，但這并不意味著乘積本身一定是對稱的。

對稱矩陣的定義是，如果對于所有向量X和Y，它們的內積等于，則矩陣A是對稱的。這個性質確保了當X是實數時，對稱矩陣乘法的特殊性。然而，即使每個元素均為實數，兩個對稱矩陣的乘積只有在它們的特征空間相同時才保持對稱性。

值得注意的是，如果X本身是對稱矩陣，與任意矩陣A的乘積AXAT仍然是對稱的。此外，實對稱矩陣在歐幾里得空間V(R)中的作用，即作為對稱變換的矩陣表示，與它們的對稱性無關。

最后，一個矩陣同時為對稱和斜對稱矩陣的唯一情況是所有元素均為零。綜上所述，兩個對稱矩陣的乘積是否為對稱取決于它們的內部結構和特性。