由題意知y''=1+(y')^2，令y'=p，則y''=p'=dp/dx，于是原方程可以寫成：p'=1+p^2。所以dp/(1+p^2)=dx，對等式兩端同時(shí)積分得到：arctan p=x+c1（c1為常數(shù)）。即p=tan(x+c1)，y'=tan(x+c1)，所以dy=tan(x+c1) dx。再對等式兩端同時(shí)積分得到微分方程的通解為：y= -ln |cos(x+c1)|+c2（c1、c2均為常數(shù)）。在這個(gè)過程中，我們首先對原方程進(jìn)行了變量替換，將一階導(dǎo)數(shù)y'設(shè)為p，這樣二階導(dǎo)數(shù)y''就可以表示為p'。接著，我們對方程進(jìn)行了變形，得到了一個(gè)關(guān)于p的方程p'=1+p^2。通過積分，我們得到了p與x之間的關(guān)系。進(jìn)一步地，我們解出了p的表達(dá)式p=tan(x+c1)，然后通過dy=tan(x+c1) dx，再次進(jìn)行積分，最終得到了微分方程的通解y= -ln |cos(x+c1)|+c2。其中，c1和c2是積分常數(shù)，分別代表了不同積分曲線的水平平移和垂直平移。整個(gè)求解過程體現(xiàn)了微分方程解法中的變量替換技巧以及積分的基本操作，這對于理解微分方程的解法具有重要意義。在求解過程中，我們運(yùn)用了三角函數(shù)的性質(zhì)，特別是反三角函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。通過這種變換，將復(fù)雜的二階微分方程轉(zhuǎn)化為了一階微分方程，從而簡化了解題過程。此外，我們還利用了積分的基本性質(zhì)，通過積分求解出y關(guān)于x的表達(dá)式。這個(gè)過程需要對積分技巧有深刻的理解和掌握。通過對這個(gè)微分方程的求解，我們可以進(jìn)一步探討微分方程在物理、工程等領(lǐng)域中的應(yīng)用，以及它們在數(shù)學(xué)理論中的重要地位。