根據《中華人民共和國民事訴訟法》的規定，不予執行涉外仲裁裁決的具體情形包括：一、當事人在合同中未訂有仲裁條款或事后未達成書面仲裁協議的。二、被申請人未得到指定仲裁員或進行仲裁程序的通知，或由于其他不屬于被申請人負責的原因未能陳述意見的。三、仲裁庭組成或仲裁程序不符合仲裁規則的。四、裁決事項超出仲裁協議范圍或仲裁機構無權仲裁的。若法院認定執行該裁決違背社會公共利益，也將裁定不予執行。若仲裁裁決被法院裁定不予執行，當事人可依據雙方達成的書面仲裁協議重新申請仲裁，或向法院提起訴訟。此外，根據中華人民共和國締結或參加的國際條約，或按照互惠原則，人民法院和外國法院可以相互請求代為送達文書、調查取證及其他訴訟行為。然而，若外國法院請求協助的事項有損于中華人民共和國主權、安全或社會公共利益，則不予執行。在涉外仲裁裁決執行過程中，法院將嚴格審查仲裁裁決的合法性，確保其符合我國法律和國際條約的規定。對于不符合上述規定的裁決，法院將堅決不予執行，以維護我國的司法主權和公共利益。同時，當事人在遇到仲裁裁決不予執行的情形時，可依據法律規定尋求重新仲裁或提起訴訟，以維護自身合法權益。通過上述規定，我國法律體系為涉外仲裁裁決的執行提供了明確的法律依據，確保仲裁裁決的公正性和權威性。