隱零點問題在函數零點分析中占有重要地位。所謂隱零點，指的是在函數極值分析過程中，通過導數求解零點，這些零點為原函數的極值點。當我們將導函數的零點代入原函數，以優化分析步驟時，即稱為隱零點操作。以下例題展示了隱零點代換的概念：已知函數$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，求其最小值。我們首先構造輔助函數$g(x) = (x-1)^3$。通過求導得到$g'(x) = 3(x-1)^2$。當$g'(x) = 0$時，得到$x = 1$為$g(x)$的極值點，此時$g(x)$的極小值為$g(1) = 0$。但$g(x)$與原函數$f(x)$的關系尚未建立。于是我們構造另一個函數$h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，同樣求其導數$h'(x) = 3x^2 - 6x + 3$。假設$h'(x) = 0$時，得到$x = 1$為$h(x)$的極值點。我們注意到$g(x)$與$h(x)$的最小值點均為$x = 1$。通過觀察發現，$g(x)$的構造基于原函數$f(x)$中$x = 1$的特性。為將$g(x)$與$h(x)$關聯起來，我們嘗試將$g(x)$中的參數代入$h(x)$，即利用隱零點代換。在$h(x)$中，我們嘗試將$g(x)$中的$x = 1$代入，得到$h(1) = 0$。進一步分析$h(x)$的導數$h'(x) = 3x^2 - 6x + 3$，假設$h'(x) = 0$時，我們利用隱零點代換消去$g(x)$的參數，得到$h(x)$的極值與$g(x)$一致。接下來，我們將$g(x)$與$h(x)$的關系代回原函數$f(x)$，求其最小值。利用隱零點代換，我們從$h(x) = 0$得到$f(x) = 0$。因此，$f(x)$的最小值為$0$。對于等價命題：求$f(x)$的最小值，通過變形得到：根據$f(x) = (x-1)^3 - 1$，兩邊同除以$(x-1)^3$得$\frac{f(x)}{(x-1)^3} = -1$，作平移變換得$\frac{f(x)}{(x-1)^3} + 1 = 0$，即$f(x) = - (x-1)^3$。因此，$f(x)$的最小值為$0$。等價命題的取等點為$x = 1$，對應$f(x)$的值約為$0$。通過隱零點代換操作，成功找到了原函數與輔助函數之間的關系，進而解決了最小值問題。