實對稱矩陣為何能正交對角化？實對稱矩陣具有特殊性質，其中特征值為實數且特征向量彼此正交，這是其正交對角化的基礎。

若一個矩陣A滿足一定條件，我們能通過酉矩陣將其對角化。對于實對稱矩陣而言，除了滿足上述性質外，還額外具有一特點。即所有特征值皆為實數，特征向量兩兩正交。

已知所有矩陣均可相似轉化為Jordan型，假設實對稱矩陣A滿足特定條件，那么存在矩陣P，使得A相似于對角矩陣D。此時，我們有A=PDP-1。

觀察上式，我們發現D是對角矩陣，且A為對稱矩陣。這意味著D也是對稱矩陣。

因為A是對稱矩陣，其性質決定了A的特征值皆為實數，特征向量兩兩正交，從而A能通過正交矩陣P對角化，轉化為對角矩陣D。由于A同時具備Jordan型與對稱性，可以推斷出，A實際上就是對角矩陣。

關于正交性證明，其他答案已詳細闡述，此處不再贅述。簡而言之，實對稱矩陣之所以能正交對角化，其根本在于其獨特的性質，即所有特征值為實數且特征向量兩兩正交。這一性質使得實對稱矩陣能通過正交矩陣實現對角化。