在數學分析和實變函數中，常常見到一些病態函數，如取整函數、純小數函數、符號函數、Dirichlet函數、Riemann函數、Heaviside函數等等，把它們稱為病態函數，是因為它們的定義及性質都比較特殊，不同于一般的初等函數，但重要的是還和人們的認識水平有關。因為對一些奇特性質難以解釋或找不到直觀背景等原因而稱之為病態，而稱其為病態也只是相對的，隨著科學技術的發展，以及人們所處理問題的日益復雜，一些原來看似病態的函數，現在看來卻是性質良好的，并且還發揮著重要的作用。這些函數是隨著人們對函數概念的本質的深化認識而人為地構造出來的，利用這些函數常常可非從正面或反面說明實分析中某些重要概念和原理，使實分析的理論臻于完善。一般所謂的病態函數，往往指處處連續但處處不可導的函數，如魏爾斯特拉斯函數，它是由一個無窮級數定義的，可以直觀地想象它，就是一條連續的鋸齒狀折線，但鋸齒的大小無限地小。