為了求解函數\(z = y\ln(x+y)\)的二階偏導數，首先需要計算一階偏導數。我們從\(z\)對\(x\)和\(y\)的偏導數開始。對于\(z\)對\(x\)的偏導數，應用鏈式法則和乘積法則，有\[\frac{\partial z}{\partial x} = y\cdot\frac{1}{x+y} = \frac{y}{x+y}\]接著，我們計算\(z\)對\(y\)的偏導數。應用乘積法則，得到\[\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(x+y) + y\cdot\frac{1}{x+y} = \ln(x+y) + \frac{y}{x+y}\]然后，我們需要求解二階偏導數，即分別對上述一階偏導數再求導。首先求解\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\)，即\(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x+y}\right)\)。應用商法則，我們得到\[\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{0\cdot(x+y) - y\cdot1}{(x+y)^2} = -\frac{y}{(x+y)^2}\]接下來求解\(\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\)，即\(\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln(x+y) + \frac{y}{x+y}\right)\)。應用鏈式法則和商法則，我們得到\[\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{1}{x+y} + \frac{(x+y)\cdot1 - y\cdot1}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y} + \frac{x}{(x+y)^2}\]最后，計算\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)和\(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\)。對于\(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\)，我們對\(\frac{y}{x+y}\)求導，得到\[\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{(x+y)^2}\]而對于\(\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\)，我們對\(\ln(x+y) + \frac{y}{x+y}\)求導，得到\[\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x+y)^2}\]至此，我們已經完整地計算出了函數\(z = y\ln(x+y)\)的所有二階偏導數。以上是求解過程，其中應用了多種微分法則，包括鏈式法則、乘積法則、商法則等。通過這些步驟，我們可以準確地求得函數在任意點的二階偏導數。值得注意的是，在求解過程中，我們始終保持了對函數的細致分析，確保了每一步都準確無誤。這對于理解和掌握偏導數的概念和應用至關重要。