直接三角分解法，是將高斯消去法簡化為緊湊形式，從而可以直接從矩陣A的元素直接得出計算L和U元素的遞推公式，而無需任何額外的中間步驟。這種方法不僅簡化了計算過程，還提高了效率。一旦實現了矩陣A的LU分解，求解Ax=b的問題就轉化為求解兩個三角形方程組：Ly=b，求解y；Ux=y，求解x。這里，A表示非奇異矩陣，即A可以進行LU分解，其中L是單位下三角陣，U是上三角陣。具體而言，直接三角分解法將矩陣A分解為一個單位下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。在計算過程中，L的對角元素恒為1，而U的對角元素則是A的對角元素。通過這個分解，原問題轉化為求解兩個三角形方程組，這通常比直接求解原方程組更高效。求解Ly=b可以利用前向替換法，求解Ux=y可以利用后向替換法。在實現直接三角分解的過程中，可以通過填表法（Doolittle分解法、Crout分解法等）來逐步構建L和U矩陣。Doolittle分解法中，L的對角元素均為1，而Crout分解法則使得U的對角元素均為1。這兩種方法在實際應用中各有優劣，可根據具體需求選擇。需要注意的是，雖然直接三角分解法簡化了計算過程，但在某些情況下，如矩陣A的條件數較大時，可能會導致數值穩定性問題。因此，在實際應用中，需謹慎選擇分解方法，并考慮適當的數值穩定性和誤差控制措施。通過直接三角分解，不僅可以簡化求解過程，還可以在多次求解相同系數矩陣的不同常數項向量時提高效率。例如，在線性規劃、優化問題等領域，這種分解方法有著廣泛的應用。總之，直接三角分解法是線性代數中的一個重要工具，它通過將矩陣分解為L和U的形式，簡化了求解線性方程組的過程，提高了計算效率。這一方法在許多科學計算和工程應用中發揮著重要作用。