分布收斂(convergence in distribution)定義為依分布收斂至X，記作，意味著：，對于所有F的連續點x。這意味著，當n很大的時候，的累積函數和X的累積函數差不多。直觀上而言，依分布收斂只在乎隨機變量的分布，而不在乎他們之間的相互關系。舉例而言，假設，對于任意一個發生的事件，Y與X的取值正好差了一個負號。但這并不影響X與Y有相同的累積函數，即。如此一來，。更一般的情況而言，只要X與Y有相同的累計函數，即samedistributed，即使，也有。因為依分布收斂僅僅在乎分布，而不在乎相互之間的關系。概率收斂(convergence in probability)定義為依概率收斂至X，記作，意味著：，當，。這意味著，當n很大的時候，對任意發生的事件，的值和X的值差不多，即很小。直觀上而言，依概率收斂在乎的是隨機變量的值。依分布收斂的例子如果套在概率收斂上就會出現問題。如果，但對于任何一個與X分布一樣的Y，但，一定不成立，因為X與Y只是分布相同，而值不同。但反而言之，如果，即它們的值都差不多了，那么它們的分布一定也差不多，即。因此，依概率收斂比依分布收斂要強，即。Lp收斂(convergence in Lp)定義為依Lp收斂至X，記作，意味著：，當，。在p＝2時即為均方收斂。直觀上而言，均方收斂在乎的也是隨機變量的值，但其要求比依概率收斂更加嚴格。之所以更加嚴格，是因為概率測度可以被均方測度所限制，其思想可以近似由Chebyshev不等式看到。因此。幾乎處處收斂(convergence almost surely)定義為幾乎處處收斂至X，記作，意味著：，當。直觀上而言，幾乎處處收斂在乎的也是隨機變量的值，但其要求也比依概率收斂更加嚴格。如果沒有接觸過實變函數的知識，幾乎處處收斂對于連續型隨機變量可能比較難以理解。我們這邊用離散型隨機變量進行直觀解釋，以避免0測度下的一些問題。對于，即以概率取1，其余為0的隨機變量。其依概率收斂到1意味著，和1的值都差不多，而且隨著n越來越大，不相等的概率越來越小。轉而言之，出現0的概率越來越小，極限為0。但幾乎處處收斂至1要求，存在N，時，，即和1的值都在n很大時必須相等，即取0的概率在某個N后必須為0。前者限制其尾部概率收斂至0，但后者限制尾部概率為0。幾乎處處收斂和Lp收斂最強，依概率收斂其次，依分布收斂最弱。幾乎處處收斂和Lp收斂并無推導關系。在收斂到常數時，依概率收斂和依分布收斂等價。詳情