在信號處理和控制系統中，反拉氏變換是解決系統響應的重要工具。對于常見的函數如e-t，[e-t]*t，[e-t]*(t2)/2，[e-t]*(t3)/6，了解它們的反拉氏變換尤為關鍵。

e-t的反拉氏變換為u(t)，即單位階躍函數。這是因為拉氏變換將信號從時域轉換到復頻域時，e-t在復頻域中表現為1/(s+1)。而單位階躍函數u(t)在時域中的拉氏變換正好是1/s，通過反變換可以得到e-t。

[e-t]*t的反拉氏變換則為u(t)-e-t。這里t乘以e-t意味著對單位階躍函數u(t)進行了微分操作。通過微分性質，可以推導出這一結果，即在拉氏變換中，乘以t相當于求原函數的導數。因此，[e-t]*t的反拉氏變換是u(t)減去e-t。

[e-t]*(t2)/2的反拉氏變換為(t-1)u(t)。這個結果可以通過拉氏變換中的積分性質推導得出，即乘以t2相當于求原函數的二次積分。因此，[e-t]*(t2)/2的反拉氏變換是(t-1)u(t)。

[e-t]*(t3)/6的反拉氏變換為(t2-2t+1)u(t)。同樣地，這個變換可以通過拉氏變換中的積分性質來理解，乘以t3意味著求原函數的三次積分。因此，[e-t]*(t3)/6的反拉氏變換為(t2-2t+1)u(t)。

理解這些反拉氏變換不僅有助于深入掌握信號處理和控制系統的基礎知識，還能為實際應用提供有力支持。例如，在設計濾波器或分析系統穩定性時，正確應用這些變換能顯著提高效率和準確性。

總之，掌握反拉氏變換對于工程師和研究人員來說至關重要，尤其是在涉及e-t及其冪次形式的函數時。