求解2×2矩陣(3 1; 1 -3)的50次方，可以采用多種方法。首先，觀察該矩陣的冪次，例如A^10=[10 20; 20 10]，這是一個2x2的矩陣。然后，通過乘法得到結果為一個列向量[10x3+20x(-1); 20x3+10x(-1)]=[10;50]。另一種方法是尋找規律并使用歸納法證明。將矩陣A表示為B+C的形式，其中B、C可以交換，且B的冪次易于計算，C的低次冪等于0。此時A^k=(B+C)^k可以使用二項式公式展開。如果能將矩陣拆成兩個矩陣之和，其中一個為單位陣或可對角化，則可以使用牛頓二項式展開。大部分題目中，拆分后牛頓二項式的第三項及以后都為0。還可以采用特征值特征向量法。通常可以將矩陣拆分為兩個矩陣的和，然后使用牛頓二項式展開。這種方法適用于大多數題目。例如，直接將A與自身相乘，尋找規律，再推廣到N階矩陣。對于求一個m階矩陣A的n次方的常用方法，可以直接利用二項式定理展開。如果A可以表示為一個對角矩陣與C的和，則可以直接通過A^n=(aE+C)^n用二項式定理展開。另一種方法是利用數學歸納法，先寫出前幾項A、A^2、A^3等，嘗試尋找規律，再用數學歸納法證明結論。