為了求解三重積分∫∫∫z^2dv,我們首先考慮所給定的積分區域。該區域由兩個球體界定，分別為x^2+y^2+z^2<=1和x^2+y^2+z^2<=2z。為了簡化計算，我們采用球坐標系進行計算。在球坐標系中，我們有x = r sinφ cosθ，y = r sinφ sinθ，z = r cosφ，其中r是徑向坐標，φ是極角，θ是方位角。體積元dV = r^2sinφ drdφdθ。為了方便計算，我們先將原積分區域方程轉換為球坐標系下的形式。根據題目給定的條件，我們有r^2 = 2z，即r^2 = 2rcosφ，進一步得到r = 2cosφ。接下來，我們確定積分范圍。由于整個球面在xOy面上，因此φ的取值范圍為0到π/2。θ的取值范圍為0到2π。r的取值范圍由r = 2cosφ給出，即0到2cosφ。將這些信息代入三重積分的計算公式中，我們得到：∫∫∫z^2dv = ∫(0,2π)dθ ∫(0,π/2)sinφdφ ∫(0,2cosφ)r^4dr。接下來，我們對上述積分進行計算。首先計算r的積分部分：∫(0,2cosφ)r^4dr = (1/5)r^5|(0,2cosφ) = (1/5)(2cosφ)^5 = (32/5)cos^5φ。接下來計算φ的積分部分：∫(0,π/2)sinφ * (32/5)cos^5φ dφ = (32/5)∫(0,π/2)sinφcos^5φ dφ。利用換元法，令u = cosφ，則du = -sinφdφ。因此，積分變為：(32/5)∫(1,0)u^5(-du) = (32/5)∫(0,1)u^5du = (32/5) * (1/6)u^6|(0,1) = (32/5) * (1/6) = 16/15。最后，我們計算θ的積分部分：∫(0,2π)16/15dθ = 16/15θ|(0,2π) = 16/15 * 2π = 32π/15。因此，三重積分∫∫∫z^2dv的結果為32π/15。