指數分布是一種常用的連續概率分布，通常用于描述獨立隨機事件發生的時間間隔。在概率論中，以\(\frac{1}{\theta}\)為參數的指數分布，其期望值為\(\theta\)，方差為\(\theta^2\)。這一結論出自于同濟大學第四版概率論教材。值得注意的是，大多數參考書籍中以\(\lambda\)作為參數的指數分布，其期望值為\(\frac{1}{\lambda}\)，方差同樣為\(\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\)。實際上，這兩種表述是等價的，因為\(\theta\)和\(\lambda\)僅僅是參數的不同表示形式。具體來說，如果一個隨機變量\(X\)遵循以\(\frac{1}{\theta}\)為參數的指數分布，則其概率密度函數\(f(x)\)可以表示為：\(f(x) = \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}\)其中，\(x \geq 0\)。根據定義，指數分布的期望值\(E(X)\)計算公式為：\(E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} dx = \theta\)方差\(Var(X)\)的計算公式為：\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)通過計算可知，\(E(X^2) = 2\theta^2\)，因此：\(Var(X) = 2\theta^2 - \theta^2 = \theta^2\)同樣地，如果以\(\lambda\)為參數，則參數間的關系為\(\lambda = \frac{1}{\theta}\)，此時期望值為\(\frac{1}{\lambda}\)，方差為\(\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\)，二者計算過程相同?？傊?，無論是以\(\frac{1}{\theta}\)還是\(\lambda\)為參數，指數分布的期望值和方差都可以通過上述方法得到，只是參數表示形式的不同。