對于任意n維非零向量X，由于矩陣A可逆，我們有AX≠0。進一步地，我們可以得到X^T(A^TA)X = (AX)^T(AX) > 0。這里利用了向量內積的非負性，且考慮到A為實矩陣。因此，可以得出結論，A^TA是正定矩陣。具體地，假設A是一個n×n的實矩陣，且A是可逆的。那么對于任意非零向量X，AX的結果也是一個非零向量，記為Y。因此，我們有X^T(A^TA)X = Y^TY，其中Y = AX。由于Y是非零向量，因此Y^TY > 0。這說明了X^T(A^TA)X > 0對于所有的非零向量X都成立。正定矩陣的一個重要特征是，對于任意非零向量X，有X^TAX > 0。我們通過上述過程證明了對于矩陣A^TA，同樣滿足這個條件。因此，可以明確地斷言A^TA是正定矩陣。進一步地，我們可以引入一些具體的例子來加深理解。比如，假設A是一個2×2的矩陣，A = [a b; c d]，其中a, b, c, d為實數。那么A的轉置為A^T = [a c; b d]，A^TA = [a^2 + b^2, ac + bd; ac + bd, c^2 + d^2]。我們可以看到，A^TA是一個對稱矩陣，且對于任意非零向量X = [x; y]，X^T(A^TA)X = x^2(a^2 + b^2) + 2xy(ac + bd) + y^2(c^2 + d^2)。由于A是可逆的，我們可以證明上述表達式總是大于0，這進一步驗證了A^TA的正定性。總結來說，通過上述分析和證明，我們可以得出結論，若矩陣A可逆，則A^TA必然是正定的。這一結論在數學和工程領域有著廣泛的應用，特別是在線性代數和優化理論中。