f''(x) = d2y/dx2，這是函數f(x)的二階導數，它描述了函數曲線切線斜率的變化速度。當二階導數大于0時，表示函數的曲線是向上凹的，即函數在該區間上是凹函數；反之，如果二階導數小于0，那么函數的曲線是向下凹的，即函數在該區間上是凸函數。當f''(x) = 0時，意味著函數在該點處可能存在拐點。拐點是函數從凹變凸或從凸變凹的轉折點。在拐點處，二階導數從正變為負或從負變為正，這表明函數的凹凸性發生了改變。進一步地，如果在某個區間I上，f''(x) > 0恒成立，那么對于區間I上的任意兩點x和y，總有f(x) + f(y) ≥ 2f[(x+y)/2]。這表明在該區間上，函數值的算術平均值大于或等于任意兩點函數值的中點函數值。相反，如果在區間I上f''(x) < 0恒成立，那么對于區間I上的任意兩點x和y，總有f(x) + f(y) ≤ 2f[(x+y)/2]。這意味著在該區間上，函數值的算術平均值小于或等于任意兩點函數值的中點函數值。從幾何角度來看，如果f''(x) > 0在區間I上恒成立，那么函數的圖像上任意兩點連成的線段，這兩點之間的函數圖像都會位于該線段的下方。反之，如果f''(x) < 0在區間I上恒成立，則函數圖像在這兩點之間都會位于該線段的上方。