設(shè)α，β為銳角，以圓O為直徑AB=1，C，D兩點位于AB兩側(cè)圓周上，連結(jié)CD。依據(jù)托勒密定理，有CD?AB=BC?AD+AC?BD。設(shè)∠CAB=α，∠DAB=β（圖1所示），則AC=cosα，BC=sinα，AD=cosβ，BD=sinβ，CD=sin(α+β)。代入上述公式得：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。假設(shè)∠CAB=α，∠DBA=β，且α≥β，同樣有AC=cosα，BC=sinα，AD=sinβ，BD=cosβ，CD=cos(α-β)。代入公式得：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。通過誘導(dǎo)公式，可以驗證(1)和(2)對于任意角α，β都適用。若將(1)和(2)中的β替換為-β，則可以推導(dǎo)出：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。以上推導(dǎo)展示了三角恒等式的證明過程，這些公式在解決三角函數(shù)問題時非常有用。通過具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們可以清晰地理解三角函數(shù)之間的關(guān)系，這對進一步學(xué)習(xí)和應(yīng)用三角學(xué)知識具有重要意義。這些公式不僅能夠幫助我們解決復(fù)雜的三角函數(shù)問題，還能提高我們對數(shù)學(xué)規(guī)律的認識和理解。掌握這些公式后，我們能夠在更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中靈活運用，解決各種三角函數(shù)相關(guān)的問題。例如，在解決實際問題時，我們可以通過這些公式來簡化計算，提高解題效率。總之，通過上述推導(dǎo)過程，我們不僅掌握了三角恒等式的證明方法，還深化了對三角函數(shù)關(guān)系的理解。