1. ln與e之間的轉化關系可以通過指數函數和對數函數的定義來表達。具體地，如果y=ln(x)，則x=e^y。這個關系表明，以e為底的對數函數和指數函數是互為逆運算的。2. 常數e，通常稱為自然對數的底，它是一個數學常數，其值約等于2.71828。它的重要性在于它是自然界中許多現象的數學模型的基礎，例如連續復利和自然增長等。3. 對于函數d(e^(x*sin(x)))dx，其導數可以通過乘積法則和鏈式法則來計算，結果為e^(x*sin(x))*(sin(x)+cos(x))。這個公式展示了指數函數和三角函數的復合運算。4. 換底公式是數學中將對數轉換為同底數的通用方法。它允許我們將不同底數的對數轉換為相同底數的對數，從而進行更簡單的計算。換底公式是log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中a、b、c都是正數且a、c不為1。5. 當e^x等于2時，通過對等式兩邊取自然對數，我們可以得到x=ln(2)。這是基本的對數運算，其中ln表示以e為底的對數。6. e^(ix)等于cos(x)+i*sin(x)，這是歐拉公式，它將復數與三角函數、指數函數緊密聯系起來。這個公式在復數域內定義了三角函數，并擴展了它們的應用范圍。7. 將歐拉公式中的x替換為-x，可以得到e^(-ix)等于cos(x)-i*sin(x)。通過將這兩個表達式相加和相減，我們可以得到sin(x)和cos(x)的定義，這是三角函數的基本元素。