當我們探討定積分 \(\int_{e-1}^e \ln x \, dx\) 時，首先需要通過分部積分法來處理這個積分。分部積分公式為 \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)。這里，選擇 \(u = \ln x\) 和 \(dv = dx\)，則有 \(du = \frac{1}{x}dx\) 與 \(v = x\)。將這些代入分部積分公式，我們得到\(\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln x - \int 1 \, dx = x\ln x - x + C\)。這里 \(C\) 為積分常數。接下來，我們應用此結果來計算定積分 \(\int_{e-1}^e \ln x \, dx\) 的值。將上下限代入上面的表達式：\(e\ln e - e - (e-1)\ln(e-1) + (e-1) = e - e - (e-1)\ln(e-1) + e - 1 = e - (e-1)\ln(e-1) - 1\)。通過簡化上述表達式，我們可以進一步理解這個定積分的具體結果。這里的關鍵在于，我們不僅使用了分部積分法，還直接計算了定積分的值，展示了從不定積分到定積分的轉換過程。在處理這樣的問題時，理解每個步驟背后的數學原理是非常重要的，這有助于加深對積分法的理解。通過這樣的練習，我們可以更加熟練地運用分部積分法來解決類似的定積分問題。