攝動方法是一種用于解決奇異矩陣問題的數學技術，雖然本質上是拓撲而非代數的方法，但它在處理奇異矩陣時展現出強大的實用性。

舉個例子，假設有一個n（大于1）階的實數方陣A和B，并且它們滿足AB=BA的條件。證明adj(A)*B=B*adj(A)。

這個問題可以通過代數方法直接證明，但使用攝動方法可能會更加簡便。如果A是非奇異矩陣，那么根據AB=BA，我們可以推導出BA-1=A-1B，再結合A-1=adj(A)/det(A)，問題迎刃而解。

然而，當A是奇異矩陣時，情況會變得復雜。這時，我們可以考慮一個技巧：對于t屬于0的充分小的鄰域，A+tI是非奇異的。定義F(t)=adj(A+tI)*B-B*adj(A+tI)，F(t)關于t是連續的。對于充分小的|t|>0，F(t)=0。取t趨向0的極限，我們得到F(0)=0，從而證明了結論。

這個例子展示了攝動方法如何幫助我們繞過奇異矩陣帶來的障礙，通過引入一個小的擾動來找到解決方案。這種技巧不僅在理論證明中有效，也是數值計算中不可或缺的工具。

攝動方法的應用范圍廣泛，包括但不限于奇異值分解、特征值問題以及矩陣方程求解等領域。通過適當的小擾動，我們可以將奇異矩陣轉化為非奇異矩陣，進而利用已有的代數工具解決問題。

舉另一個例子，考慮一個線性方程組Ax=b，其中A是奇異矩陣。通過攝動A為A+εI（ε為一個足夠小的正數），我們可以得到一個非奇異矩陣，從而求解新的方程組(A+εI)x=b。當ε趨向于0時，我們得到原方程組的解。這種方法在數值線性代數中非常有用，能夠有效處理奇異矩陣帶來的困難。

攝動方法不僅是一種理論工具，更是一種實際操作技巧。通過引入適當的擾動，我們可以將復雜的問題轉化為更易于處理的形式，從而找到問題的解答。