n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A滿(mǎn)足等式0=A^3-E，我們可以通過(guò)分解因式來(lái)探究A的性質(zhì)。首先，觀(guān)察等式0=A^3-E，可以將其寫(xiě)作A^3-E=(A-E)(A^2+A*E+E^2)的形式。進(jìn)一步地，我們發(fā)現(xiàn)A^2+A*E+E^2可以被簡(jiǎn)化為A^2+A+E，因此等式變?yōu)?=(A-E)(A^2+A+E)。根據(jù)多項(xiàng)式的因式分解定理，如果兩個(gè)因式的乘積為0，那么至少有一個(gè)因式必須為0。因此，我們可以得到(A-E)=0或者(A^2+A+E)=0。從(A-E)=0，我們可以直接得到A=E。進(jìn)一步分析(A^2+A+E)=0的情況。由于A(yíng)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，其特征值為實(shí)數(shù)，因此(A^2+A+E)=0表明A^2+A+E的特征值為0。然而，A^2+A+E的特征多項(xiàng)式為x^2+x+1，其判別式為-3，小于0，這意味著A^2+A+E的特征值為共軛復(fù)數(shù)，這與A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)矛盾。因此，(A^2+A+E)=0的情況在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在。綜上所述，唯一滿(mǎn)足等式0=A^3-E的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是A=E。這說(shuō)明，當(dāng)一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的立方等于單位矩陣E時(shí)，A本身即為單位矩陣E。