在處理涉及arccosx的不定積分時，我們首先可以利用分部積分法，將原問題轉化為更簡單的形式。具體步驟如下：首先，根據分部積分公式，我們有：\[ \int arccosx\,dx = xarccosx - \int x \, d(arccosx) \]接著，我們注意到d(arccosx)可以通過導數計算得到，即：\[ d(arccosx) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]因此，原式變為：\[ \int arccosx\,dx = xarccosx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]接下來，我們利用換元法進一步簡化問題。設u = 1 - x2，則du = -2xdx，進一步轉換得到：\[ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}\,du = -\sqrt{u} + C = -\sqrt{1-x^2} + C \]將此結果代回原式，得到：\[ \int arccosx\,dx = xarccosx - \sqrt{1-x^2} + C \]為了驗證這個結果，我們可以代入x = 1進行檢驗：\[ \int_{0}^{1} arccosx\,dx = [xarccosx - \sqrt{1-x^2}]_0^1 \]計算得到：\[ = (1 \times arccos1 - \sqrt{1-1^2}) - (0 \times arccos0 - \sqrt{1-0^2}) \]進一步化簡：\[ = (1 \times 0 - 0) - (0 - 1) = 1 \]因此，原積分值為1。