特征方程特征根法求解數列通項公式一：A(n+1)=pAn+q,p,q為常數.（1）通常設：A(n+1)-λ＝p(An-λ),則λ=q／(1-p).（2）此處如果用特征根法：特征方程為：x=px+q，其根為x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系數要是-1例一：A（n+1)=2An+1,其中q=2,p=1,則λ=1/（1-2）=-1那么A（n+1）+1=2（An+1）二：再來個有點意思的,三項之間的關系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q為常數（1）通常設：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],則m+k=p,mk=q（2）此處如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：①mn為（※）兩根。②mn可以交換位置，但其結果或出現兩種截然不同的數列形式，但同樣都可以計算An，而且還會有意想不到的驚喜，③mn交換位置后可以分別構造出兩組An和A(n+1)的遞推公式，這個時侯你會發現，這是一個關于An和A(n+1)的二元一次方程組，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出來了。例二：A1=1,A2=1,A(n+2)=-5A（n+1）+6An，特征方程為：y×y=-5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A](1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A](2)所以，A（n+1）-3A（n）=-2^n(3)A（n+1）-2A（n）=-3^(n-1)(4)yousee消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈數列通項公式的推導】　　斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……　　如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那么這句話可以寫成如下形式：　　F(0)=0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)　　顯然這是一個線性遞推數列。　　通項公式的推導方法一：利用特征方程　　線性遞推數列的特征方程為：　　X^2=X+1　　解得　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2.　　則F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n　　∵F(1)=F(2)=1　　∴C1*X1+C2*X2　　C1*X1^2+C2*X2^2　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】　　通項公式的推導方法二：普通方法　　設常數r,s　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]　　則r+s=1,-rs=1　　n≥3時，有　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]　　……　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]　　將以上n-2個式子相乘，得：　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]　　∵s=1-r，F(1)=F(2)=1　　上式可化簡得：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)　　那么：　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2)　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3)　　……　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)　　=(s^n-r^n)/(s-r)　　r+s=1,-rs=1的一解為s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2　　則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}三：最后準備好了嗎，咱們來看最刺激，最具挑戰性的一組：A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同時為零此題一般可以避開求通項公式而另辟蹊徑的方法，比如數學歸納法一類的等等，但是如果一定要挑戰一下自己，那我們現在就開始通項公式之路（1）此處似乎只能用特征根法：特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)①特征方程有兩個不等的實根，設為α，β，則{（An-α）/（An-β）}為等比數列注意：α，β可以互換位置②特征方程有一個實根，α則{1/（An-α）}偉等差數列③特征方程沒有實數根，則{An}為循環數列，每年總要有幾個題要來個A2007，A2008，A2009，A20xx例四：這個例題的數字給的十分有意思——偉強A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2則{（An+√2）/（An－√2）}為等比數列（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]