首先，有√3a=2csinA，由此可得a/c=2sinA / √3。根據正弦定理，a/c=sinA / sinC，因此sinC=√3 /2，從而∠C=π/3。由于c=√3，再利用正弦定理可得a/sinA =b/sinB=c/sinC=√3 /(√3/2)=2。進而且得出a=2sinA，b=2sinB，且A+B=π-C=π-π/3=2π/3。因此，B=2π/3-A。三角形ABC的周長可表示為a+b+c=2(sinA+sinB)+√3=2[sinA+sin(2π/3-A)]+√3=2√3sin(A+π/6)+√3。因為ABC是銳角三角形，所以π/6<；A<；π/2，進而且得出A+π/6∈(π/3，2π/3)。因此，三角形ABC的周長取值范圍是(3+3√3，3√3+2√3)。

首先，有√3a=2csinA，由此可得a/c=2sinA / √3。根據正弦定理，a/c=sinA / sinC，因此sinC=√3 /2，從而∠C=π/3。由于c=√3，再利用正弦定理可得a/sinA =b/sinB=c/sinC=√3 /(√3/2)=2。進而且得出a=2sinA，b=2sinB，且A+B=π-C=π-π/3=2π/3。因此，B=2π/3-A。三角形ABC的周長可表示為a+b+c=2(sinA+sinB)+√3=2[sinA+sin(2π/3-A)]+√3=2√3sin(A+π/6)+√3。因為ABC是銳角三角形，所以π/6<；A<；π/2，進而且得出A+π/6∈(π/3，2π/3)。因此，三角形ABC的周長取值范圍是(3+3√3，3√3+2√3)。