設總體X服從指數分布，即X~EXP(λ)，其概率密度函數為f(x) = λe^(-λx)。已知E(X) = 1/λ，通過樣本均值x?來估計參數λ，得到λ的矩估計為1/x?。接下來，我們求解參數λ的極大似然估計。設L(λ|x)為似然函數，對于n個獨立同分布的樣本x1, x2, ..., xn，其聯合概率密度函數可以表示為：L(λ|x) = π(i=1~n) λe^(-λxi) = λ^n e^(-λΣ(xi))對L(λ|x)取自然對數，得到對數似然函數l(λ|x)：l(λ|x) = ln(λ^n) + (-λ)Σ(xi) = nln(λ) - λΣ(xi)對l(λ|x)關于λ求導，得到一階導數l'(λ|x)：l'(λ|x) = n/λ - Σ(xi)令導數等于0，求解λ：0 = n/λ - Σ(xi) = n/λ - n(x?)從而得到λ的極大似然估計為λ? = 1/x?再驗證二階導數l''(λ|x)是否為負數，以確定極大值的存在性：l''(λ|x) = -n/λ^2由于-n/λ^2 < 0，說明l(λ|x)在λ = 1/x?處取得最大值，即λ的極大似然估計為1/x?。綜上所述，參數λ的矩估計和極大似然估計均為1/x?。