矩陣A的定義為(111111111)，為了求其特征值，我們首先需要計算行列式|A-xE|。經過計算，行列式的值為-(4-x)x3。通過求解特征方程-(4-x)x3=0，我們可以得到矩陣A的特征值為4,0,0,0。這些特征值中，4是唯一的非零特征值。具體來說，這個非零特征值4表明矩陣A在某個方向上具有4倍的拉伸作用。而其他的特征值為0，意味著在這些方向上，矩陣A將向量壓縮至零向量。值得注意的是，由于矩陣A的特征值分布，可以推測出A在三維空間中的行為。它將三維空間壓縮為一維，因為有三個特征值為0，而另一個特征值為4。這個結果對于理解矩陣A在幾何變換中的作用非常有用。它表明，矩陣A主要沿著一個特定方向進行拉伸，而其他方向則被壓縮到零。通過分析矩陣A的特征值，我們可以進一步探討其在不同應用場景中的行為，例如線性代數、數值分析、機器學習等領域。特征值的性質能夠幫助我們更好地理解矩陣的性質及其在實際問題中的應用。