已知 \(\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha = -\frac{1}{2}\)，因此 \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)。由此可以得出 \(\cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)。對于 \(\cos(2\pi - \alpha)\)，根據余角的性質，它等于 \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\)，因此 \(\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)。接著，考慮 \(\tan(\alpha + 7\pi)\)，由于正切函數的周期性，\(\tan(\alpha + 7\pi) = \tan\alpha\)。由此可得 \(\tan\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)。綜合上述分析，我們可以得出 \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)，\(\cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)。這些結論基于三角函數的基本性質和周期性。進一步地，根據 \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) 和 \(\cos\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)，我們可以在單位圓上找到符合條件的 \(\alpha\) 的值。考慮到 \(\tan\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)，可以確定 \(\alpha\) 位于單位圓的特定象限。在第一象限，\(\alpha\) 可能對應的角度為 \(\frac{\pi}{6}\)，而在第三象限，\(\alpha\) 對應的角度為 \(\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\)。這些角度滿足給定的三角函數條件。綜上所述，通過分析三角函數的性質和周期性，我們可以確定 \(\alpha\) 的值，并驗證給定條件的正確性。這些結論不僅展示了三角函數的基本性質，還揭示了如何利用這些性質解決復雜的三角函數問題。