考慮廣義積分的收斂性，我們首先來看積分 \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx 的計算過程。該積分的原函數為 -e^{-x}。當從 0 到 +∞ 時，該積分的值為 0 - (-1) = 1。由于 e^{-x} 在 +∞ 處的極限為 0，這說明該廣義積分是收斂的，收斂值為 1。接下來考慮另一個積分 \int_0^{+\infty} \sin x \, dx。它的原函數為 -\cos x。然而，當 x 趨向于 +∞ 時，\cos x 并沒有一個確定的極限值，它在 -1 和 1 之間振蕩。這意味著在 +∞ 時，該積分不會收斂到某個有限值，因此可以判斷此廣義積分是發散的。通過這兩個例子，我們可以看到判斷廣義積分是否收斂的基本方法：首先找到原函數，然后觀察積分上下限的取值情況。如果在某個端點處原函數的極限存在且有限，則該廣義積分收斂；反之，如果在某端點處原函數的極限不存在或為無窮大，則該廣義積分發散。對于更復雜的廣義積分，我們還可以使用比較判別法或絕對收斂判別法來進一步判斷其收斂性。比較判別法是通過比較給定積分與已知收斂或發散的積分的性質來判斷；絕對收斂判別法則要求被積函數的絕對值在積分區間上收斂，這通常用于處理絕對值導致的震蕩或無窮大情況。在實際應用中，廣義積分常用于解決物理問題中的無限邊界問題，如電場強度的計算。通過精確計算或合理估算，我們可以得出準確的結果，從而更好地理解和應用這些概念。