設平面α的法向量為n，A為平面α內任意一點。點P到平面α的距離記為d。我們可以通過向量的點積以及向量的模來求解此距離。設P到A的向量為AP，則有：d = |[AP(向量)·n]/|n||其中，AP(向量)·n表示向量AP與法向量n的點積，|n|表示法向量n的模。接下來我們通過一個具體的例子來詳細解釋上述公式的推導過程。假設平面α的方程為Ax + By + Cz + D = 0，可以推導出其法向量n = (A, B, C)。設空間中一點P(x0, y0, z0)到平面α的距離為d。為了找到d的值，我們可以構造一個從點P到平面α上的點A的向量AP。首先，我們找到平面α上一點A。由于點A位于平面α上，因此它滿足平面方程。設A的坐標為(x1, y1, z1)，則A滿足Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0。接下來，我們構造向量AP，其坐標為(x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1)。為了計算d，我們需要找到向量AP與平面α法向量n之間的夾角。由于n = (A, B, C)，向量AP與n的點積為：AP·n = A(x0 - x1) + B(y0 - y1) + C(z0 - z1)而|n| = √(A^2 + B^2 + C^2)。因此，點P到平面α的距離d為：d = |AP·n| / |n| = |A(x0 - x1) + B(y0 - y1) + C(z0 - z1)| / √(A^2 + B^2 + C^2)這就是空間中點P到平面α的距離的公式。為了簡化公式，我們可以用平面α的方程直接表示點P到平面的距離。根據平面方程Ax + By + Cz + D = 0，點P(x0, y0, z0)到平面的距離d為：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)這樣我們就得到了點到平面距離的計算公式，其中分子表示點P與平面方程常數項的差，分母表示平面法向量的模。