我們可以通過對原式進行化簡來分析矩陣A的性質。給定條件是A(A^2-6A+11I)=6I，將其展開并整理，可以得到A^3-6A^2+11A-6I=0。這個方程實際上代表了A的特征方程p^3-6p^2+11p-6=0，其中p代表A的特征值。我們接下來求解這個三次方程。對特征方程p^3-6p^2+11p-6=0進行求根，通過觀察或使用求根公式，可以發現其解為p=1、2、3。這些解均為正數，表明A的所有特征值都是正數。對于實對稱矩陣A，其特征值全部為實數。既然A的特征值均為正數，根據正定矩陣的定義，一個n階實對稱矩陣A如果所有特征值都是正數，則A是正定矩陣。因此，我們可以斷定矩陣A是正定矩陣。正定矩陣的一個重要性質是它對應的二次型是正定的，這意味著對于任意非零向量x，x^TAx>0。另外，正定矩陣的行列式大于零，且所有順序主子式都大于零。這些性質在后續的矩陣理論和應用中具有重要意義。綜上所述，通過分析A的特征值，我們證明了A是一個正定矩陣。這一結論不僅加深了我們對矩陣理論的理解，也為解決相關問題提供了有力工具。