運(yùn)用二項(xiàng)式定理，可以將(1+1/n)n展開為一系列項(xiàng)的和，每一項(xiàng)的形式為1/nk * n*(n-1)...*(n-k+1)/k!。進(jìn)一步分析表明，每一項(xiàng)實(shí)際上小于1/k!。更進(jìn)一步地，1/k!又可以被進(jìn)一步簡化為1/k(k-1)的形式，這可以被表示為1/(k-1) - 1/k。由此，我們對(duì)所有可能的k值進(jìn)行求和。通過這一操作，我們得到1 + 1 + 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +...+ 1/(n-1) - 1/n，這個(gè)求和結(jié)果可以簡化為3 - 1/n，這顯然小于3。

更直觀地解釋，當(dāng)我們對(duì)(1+1/n)n進(jìn)行展開，并對(duì)其每一項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析后，我們發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的值都是逐漸減小的，并且這些項(xiàng)可以互相抵消一部分。具體來說，每一項(xiàng)都小于1/k!，而1/k!又可以進(jìn)一步表示為1/k(k-1)。將這些項(xiàng)相加后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分項(xiàng)會(huì)相互抵消，最終結(jié)果為3 - 1/n。由于1/n總是正數(shù)，即使是最小的n值，3 - 1/n也總是小于3，因此可以證明(1+1/n)n確實(shí)小于3。

此外，我們還可以通過考慮n趨向于無窮大時(shí)的情況來進(jìn)一步驗(yàn)證這一點(diǎn)。當(dāng)n變得非常大時(shí)，1/n將趨近于0，因此3 - 1/n也將趨近于3。這意味著，無論n取何值，(1+1/n)n都不會(huì)超過3，從而證明了(1+1/n)n小于3的結(jié)論。

綜上所述，通過對(duì)(1+1/n)n的展開和逐項(xiàng)分析，結(jié)合求和技巧，我們成功證明了其值始終小于3。這種證明方法不僅展示了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還體現(xiàn)了二項(xiàng)式定理在解決復(fù)雜問題中的強(qiáng)大作用。

值得注意的是，這一結(jié)論對(duì)于理解冪函數(shù)的增長速度以及在實(shí)際應(yīng)用中估算復(fù)雜表達(dá)式的值具有重要意義。通過這種方法，我們可以更深入地理解數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系，為更廣泛的數(shù)學(xué)問題提供有力的支持。