在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，平均長(zhǎng)度21.4代表樣本均值。將樣本均值和總體方差代入置信區(qū)間公式中，通過(guò)置信水平為0.95，我們可以利用正態(tài)分布的概率公式計(jì)算出待估參數(shù)，即總體期望u。進(jìn)一步地，我們可以通過(guò)將總體期望u反帶入置信區(qū)間公式，得出最終的置信區(qū)間。具體而言，當(dāng)樣本數(shù)量足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布。因此，我們可以利用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，根據(jù)樣本均值和總體方差，計(jì)算出置信水平為0.95時(shí)的置信區(qū)間。這里的置信水平指的是我們對(duì)計(jì)算出的置信區(qū)間包含真實(shí)總體期望u的信心程度。置信區(qū)間的計(jì)算公式為：\[ \hat{\mu} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]，其中，\(\hat{\mu}\)代表樣本均值，\(z_{\alpha/2}\)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上\(\alpha/2\)分位數(shù)，\(\sigma\)是總體標(biāo)準(zhǔn)差，n是樣本數(shù)量。例如，如果總體方差已知，我們就可以直接使用上述公式計(jì)算置信區(qū)間。而當(dāng)總體方差未知時(shí)，我們可以用樣本方差來(lái)近似代替總體方差，再進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)這樣的步驟，我們可以更準(zhǔn)確地估計(jì)總體期望u的范圍。值得注意的是，置信區(qū)間的寬度不僅與樣本均值和總體方差有關(guān)，還與置信水平和樣本數(shù)量密切相關(guān)。置信水平越高，置信區(qū)間越寬；樣本數(shù)量越大，置信區(qū)間越窄。因此，通過(guò)正態(tài)分布的概率公式，我們可以有效地估計(jì)總體期望u，并通過(guò)置信區(qū)間來(lái)衡量估計(jì)的不確定性。在這個(gè)過(guò)程中，正態(tài)分布的概率公式起到了關(guān)鍵作用。它不僅幫助我們計(jì)算出置信區(qū)間，還讓我們能夠更好地理解樣本數(shù)據(jù)與總體參數(shù)之間的關(guān)系。