三次函數(shù)的求根公式通過盛金公式可以直觀地求解。對于形式為aX3＋bX2＋cX＋d=0的方程，當(dāng)A=B=0時，方程有一個三重實(shí)根，即X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。當(dāng)Δ=B2－4AC>0時，方程有一個實(shí)根和一對共軛虛根；當(dāng)Δ=B2－4AC=0時，方程有三個實(shí)根，其中有一個兩重根；當(dāng)Δ=B2－4AC<0時，方程有三個不相等的實(shí)根。盛金公式具體如下：當(dāng)A=B=0時，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。當(dāng)Δ=B2－4AC>0時，盛金公式②：X1=(－b－(Y11/3＋Y21/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋Y11/3＋Y21/3±31/2 (Y11/3－Y21/3)i)/(6a)；其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。當(dāng)Δ=B2－4AC=0時，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。當(dāng)Δ=B2－4AC2cos(θ/3) )/(3a)；X2，3= (－b＋A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)；其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<1)。盛金定理指出，當(dāng)b=0，c=0時，盛金公式①無意義；當(dāng)A=0時，盛金公式③無意義；當(dāng)A≤0時，盛金公式④無意義；當(dāng)T＜-1或T＞1時，盛金公式④無意義。盛金定理1：當(dāng)A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實(shí)根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：當(dāng)A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時,適用盛金公式①解題）。盛金定理3：當(dāng)A=B=0時，則必定有C=0（此時,適用盛金公式①解題）。盛金定理4：當(dāng)A=0時，若B≠0，則必定有Δ＞0（此時，適用盛金公式②解題）。盛金定理5：當(dāng)A＜0時，則必定有Δ＞0（此時，適用盛金公式②解題）。盛金定理6：當(dāng)Δ=0時，若B=0，則必定有A=0（此時，適用盛金公式①解題）。盛金定理7：當(dāng)Δ=0時，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式③解題）。盛金定理8：當(dāng)Δ＜0時，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式④解題）。盛金定理9：當(dāng)Δ＜0時，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1＜T＜1。顯然，當(dāng)A≤0時，都有相應(yīng)的盛金公式解題。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當(dāng)Δ＞0時，不一定有A＜0。盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實(shí)系數(shù)的一元三次方程都可以運(yùn)用盛金公式直觀求解。當(dāng)Δ=0(d≠0)時，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達(dá)形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd是最簡明的式子，由A、B、C構(gòu)成的總判別式Δ=B2－4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)1/2)/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達(dá)形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有序、對稱、和諧與簡潔美。此外，一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）這樣其實(shí)就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因?yàn)锳和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關(guān)于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達(dá)定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)對比（6）和（8），可令A(yù)＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)將(9)中的A＝y(tǒng)1，B＝y(tǒng)2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式(14)只是一元三方程的一個實(shí)根解，按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個根，不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。