設(shè)tant=x，那么有√x^2+1=secx，原式變?yōu)椤襰ecxd(tanx)。進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到secx*tanx-∫tanxd(secx)。繼續(xù)化簡(jiǎn)，secx*tanx-∫secx*(tanx)^2dx。再化簡(jiǎn)為secx*tanx-∫(secx^3-secx)dx。進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到secx*tanx-∫secx^3dx+∫secxdx。將∫secxd(tanx)移到方程左邊，得到∫secxd(tanx)=（secx*tanx+ln|secx+tanx|）/2。最后將tant=x，√x^2+1=secx代入，得到∫(√x^2+1)dx=[(x√x^2+1+ln|x+√x^2+1|）/2]+c。為了更好地理解這一過(guò)程，我們來(lái)看一個(gè)具體的例子。假設(shè)x=1，那么∫(√x^2+1)dx=[(1√1^2+1+ln|1+√1^2+1|）/2]+c。進(jìn)一步計(jì)算得到[(1*√2+ln|1+√2|)/2]+c。這表明，當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)的值為[(√2+ln(1+√2))/2]+c。此外，我們還可以考慮x的其他取值。比如，當(dāng)x=0時(shí)，原函數(shù)的值為[(0*√0^2+1+ln|0+√0^2+1|)/2]+c，簡(jiǎn)化后得到[1/2]+c。這意味著，當(dāng)x=0時(shí)，原函數(shù)的值為1/2+c。通過(guò)這些具體的例子，我們可以更好地理解根號(hào)下x^2+1的原函數(shù)的具體形式。當(dāng)然，這只是其中的一部分，更多的情況需要通過(guò)進(jìn)一步的計(jì)算和推導(dǎo)來(lái)解決。值得注意的是，這個(gè)過(guò)程中的每一步都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)和驗(yàn)證，以確保最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。此外，這個(gè)過(guò)程還涉及到一些基本的積分技巧，如分部積分法和三角換元法等。總之，求解根號(hào)下x^2+1的原函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，需要我們具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和良好的計(jì)算能力。只有通過(guò)不斷的練習(xí)和探索，我們才能真正掌握這個(gè)過(guò)程，從而更好地解決類(lèi)似的問(wèn)題。