集合，簡(jiǎn)稱集，是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，集合論是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，專注于集合的研究。集合論的基本理論創(chuàng)立于19世紀(jì)，最簡(jiǎn)單的定義是在樸素集合論中的，即集合是由“確定的一堆東西”組成的，這些“東西”被稱為元素。現(xiàn)代的集合則定義為由一個(gè)或多個(gè)確定的元素構(gòu)成的整體。集合中的元素?cái)?shù)目稱為集合的基數(shù)，記作card(A)。當(dāng)基數(shù)為有限時(shí)，集合被稱為有限集；基數(shù)為無(wú)限時(shí)，集合則為無(wú)限集。一般而言，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，而含無(wú)限個(gè)元素的集合則被稱為無(wú)限集。集合論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有極其重要的地位。集合論的基礎(chǔ)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在19世紀(jì)70年代奠定的，經(jīng)過(guò)半個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)20年代，集合論已經(jīng)確立了其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位。可以說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的幾乎所有成果都建立在嚴(yán)格的集合理論基礎(chǔ)上。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合論被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，包括代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)理邏輯等。通過(guò)集合論，數(shù)學(xué)家們能夠更清晰地理解數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系，并構(gòu)建起數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)框架。集合論的理論框架使得數(shù)學(xué)家們能夠處理更為復(fù)雜和抽象的對(duì)象，為數(shù)學(xué)研究提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。