在17世紀，法國的數學巨擘費馬對質數的性質展開了深入研究。他定義了一種特殊的數，即費馬數F(n) = 2^(2^n) + 1。當n取0, 1, 2, 3, 4時，F(n)分別為3, 5, 17, 257, 65537，這些數都成了質數。然而，當n增大至5時，費馬數F5=4294967297變得異常龐大，費馬并未繼續驗證。多年后，瑞士數學家歐拉證明，F5并非質數，而是641和6700417的乘積，這揭示了費馬關于所有F5為質數的猜想是錯誤的。此后，數學家們再也沒有發現任何一個費馬數是質數，所有的費馬數都是合數。與此同時，法國數學家梅森也提出了一項關于梅森素數的猜想：當p為質數時，2^p-1也是質數。梅森通過驗算發現，當p=2, 3, 5, 7, 17, 19時，2^p-1都為質數。后來，歐拉證明了p=31時，2^31-1亦為質數。然而，隨著p值增大，驗證過程變得極為復雜。p=11時，2^11-1=2047被證實為合數，23和89是它的因子。梅森留下的p=67, 127, 257三個梅森數，由于數值過大，直到250年后，美國數學家科勒才證明2^67-1=193707721×761838257287，是一個合數，這是第九個梅森數。20世紀，數學家們相繼證明了第10個梅森數是質數，而第11個梅森數則是合數。這些發現進一步證明了質數的分布是無規律的，這給尋找質數規律帶來了巨大挑戰。如今，數學家們發現了最大的梅森數，其數值為2^32582657-1，擁有9808357位。盡管人類能夠找到巨大的質數，但質數的規律依然難以捉摸。這些質數的歷史故事，不僅展示了數學的奇妙，也揭示了人類對數學探索的不懈追求。