設向量組α1，α2，...，αm線性無關，β1可由α1，α2，...，αm線性表示，但β2不可由α1，α2，...，αm線性表示。因為β可由向量組α1,α2,...αm-1 αm線性表示，所以有 β=k1α1+k2α2+...+km-1αm-1+kmαm。又因為β不能由向量組(1)線性表示，所以km≠0。由此可知，αm = (1/km)[β-(k1α1+k2α2+...+km-1αm-1)]，故αm可以由向量組(2)線性表示。假如αm可由向量組(1)線性表示，由(*)式即知β能由向量組(1)線性表示，與已知矛盾。所以αm不能由向量組(1)線性表示，但可以由向量組(2)線性表示。此結論基于線性無關性與線性表示的性質，進一步證明了向量αm在特定條件下既不能由原向量組線性表示，又能由擴展后的向量組線性表示。這一結論對于理解向量空間的基礎理論具有重要意義。線性代數中，這樣的結論幫助我們更好地理解向量間的相互關系，以及如何通過線性組合構建新的向量。這對于處理更復雜的向量空間問題有著重要的指導意義。在實際應用中，這種理論不僅在數學領域有重要價值，也在計算機圖形學、機器學習等領域有著廣泛的應用。通過這種理論，我們可以更有效地處理數據，進行模式識別和預測，從而推動相關技術的發展。